第 4 回回路の接続と特性(2)

本日の内容

4-1. 宿題の解答
4-2. コンデンサを含む回路
4-3. 電子回路の復習(2)
4-4. 宿題

4-1. 宿題の解答

宿題

次の FET による増幅回路の周波数特性を求め、グラフを書きなさい。但し、相互コンダクタンスは g_m で表し、ドレイン抵抗は∞とします。

ヒント

等価回路は次のようになります。

解答

まず、等価回路から V'₁ を求めます。左辺の合成インピーダンスを Zとおきます。

$Z = frac{1}{j omega C} + frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

$I = frac{V_1}{Z}$

$V quote_1 = frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} I = frac { frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} }{frac{1}{j omega C} + frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}}V_1$

右側の等価回路で R_L を流れる電流 I₂ を考えます。

$I_2 = frac{R_D}{R_D + R_L} g_m V quote_1$

$~= frac{R_D R_L}{R_D + R_L} g_m frac { frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} }{frac{1}{j omega C} + frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}}V_1$
$~= frac{R_D R_L}{R_D + R_L} g_m frac {1}{1+frac{R_1 + R_2}{j omega C R_1 R_2} } V_1$

$A_v = frac{R_D R_L}{R_D + R_L} g_m frac {1}{1+frac{R_1 + R_2}{j omega C R_1 R_2} }$

ここで (R₁+R₂) / (ω CR₁R₂) と 1 の大小関係、つまり (R₁+R₂)) /( CR₁R₂) と ω の大小関係を考えます。

ω≪ (R₁+R₂)) /( CR₁R₂) の場合: 分母はほぼ (R₁+R₂)) /(j CR₁R₂) になるので、電圧利得は次の通り
$A_v = frac{R_D R_L}{R_D + R_L} g_m frac {1}{1+frac{R_1 + R_2}{j omega C R_1 R_2} }$
$~simeq frac{R_D R_L}{R_D + R_L} g_m frac {1}{frac{R_1 + R_2}{j omega C R_1 R_2} }$
$~= frac{R_D R_L}{R_D + R_L} g_m frac {j omega C R_1 R_2}{R_1 + R_2}$
ω≫ (R₁+R₂)) /( CR₁R₂) の場合: 分母はほぼ 1 になるので、電圧利得は次の通り
$A_v = frac{R_D R_L}{R_D + R_L} g_m frac {1}{1+frac{R_1 + R_2}{j omega C R_1 R_2} }$
$~ simeq frac{R_D R_L}{R_D + R_L} g_m frac {1}{1}$
$~ = frac{R_D R_L}{R_D + R_L} g_m$

よって周波数特性は ω が R₁R₂/( C (R₁+R₂)) より小さい場合は ωに比例し、大きい場合は一定になる。

4-2. コンデンサを含む回路

次の回路の電圧利得の周波数特性を考えましょう。

そのため、まずこれを簡略化した回路の特性を求めます。

もっとも簡略化した回路

この場合、V₂=V₁より A_v=1

コンデンサだけを取り去った回路

この場合、電圧が R_L:R に分割されるので A_v=R_L/( R+R_L) となります。

目標の回路の特性

目標の回路の特性を求めましょう。合成インピーダンスをZ とします。

$Z = R_L + frac{R frac{1}{j omega C}}{R + frac{1}{j omega C}}$
$I = frac{1}{R_L + frac{R frac{1}{j omega C}}{R + frac{1}{j omega C}}}V_1$
$~ = frac{j omega C R + 1}{R + R_L + j omega C R R_L} V_1$
$V_2 = R_L frac{j omega C R + 1}{R + R_L + j omega C R R_L} V_1$
$A_v = frac{j omega C R R_L + R_L}{R + R_L + j omega C R R_L}$
$~ = frac{frac{R_L}{j omega C R R_L} + 1}{frac{R + R_L}{ j omega C R R_L}+1}$

ここで、 R_L/ (ωCRR_L) 、 (R_L+R)/ (ωCRR_L) と 1 の大小関係を比較します。 ωとの関係を考えると R_L/ (CRR_L) と、 (R_L+R)/ (CRR_L) との関係になります。 R_L/ (CRR_L) < (R_L+R)/ (CRR_L) から、場合分けは次のようになります。

ω≪R_L/ (CRR_L) の時: 分子、分母とも 1 はほぼ無視して良いので、電圧利得は次のようになります。
$A_v =frac{frac{R_L}{j omega C R R_L} + 1}{frac{R + R_L}{ j omega C R R_L}+1}$
$~ simeq frac{frac{R_L}{j omega C R R_L} }{frac{R + R_L}{ j omega C R R_L}}$
$~ = frac{R_L }{R + R_L}$

つまり、コンデンサだけを取り去った場合の利得と同じになります。
ω ≫ (R_L+R)/ (CRR_L) の時: 分子、分母とも分数部分は 1 と比較してほぼ無視して良いほど小さいので、電圧利得は次のようになります。
$A_v =frac{frac{R_L}{j omega C R R_L} + 1}{frac{R + R_L}{ j omega C R R_L}+1}$
$~ simeq frac{1 }{1}$

つまり、R, Cともない場合、これはコンデンサを短絡したことと同じ利得になります。

結局、周波数が小さい時はコンデンサが無い状態、周波数が大きい場合はコンデンサを短絡した場合に相当することがわかります。 R_L/ (CRR_L) < ω < (R_L+R)/ (CRR_L) の場合は、少し調べると単調増加であることがわかります。従ってグラフは次のようになります。

グラフの作成

gnuplot を用いて電圧利得の周波数特性を調べます。

$A_v = frac{j omega C R R_L + R_L}{R + R_L + j omega C R R_L}$

簡単のために a=1/RC, b= (R_L+R)/ RR_LC と置くと次のようになります。

$A_v = frac{a + j omega }{b + j omega }$

ここで、 a<b より a=1, b=2 など適当に値を定めます。すると、 gnuplot にグラフを描かせる関数は (1+ jx)/(2+ jx)の絶対値になります。 gnuplot では虚数単位 j を {0,1} という形で表しますので与えるコマンドと得られるグラフは次の通りになります。

set logscale xy
plot [10**(-3):10**3] abs((1+{0,1}*x)/(2+{0,1}*x)

4-3. 電子回路の復習(2)

増幅回路の安定

トランジスタ増幅回路はつぎのような原因で不安定になります。

電源の不安定
トランジスタの特性の変動(温度、製品差)

このような原因を取り除くため、負帰還という手法を用います。詳しくは 4 章 pp.152-153 で取り上げます。

FET回路での例

次の回路で電圧利得を調べましょう。

簡単な回路

比較を行うため、次の簡単な回路の解析から始めましょう。

この回路の等価回路は次のようになります。

まず、V と V₁は等しいです。次に、V₂は、 R_L を流れる電流とR_Lの積です。そして、その電流は g_mV を R_D:R_L の逆比で分配したものになります。従って、 V₂, A_v は次のようになります。

$V_2 = frac{R_D R_L}{R_D + R_L} g_m V_1$
$A_v = frac{R_D R_L}{R_D + R_L} g_m$

帰還抵抗のある回路の解析

さて、目標の回路の解析をしましょう。等価回路はつぎのようになります。

注意したいのは、 FET のゲートからソースには電流は流れませんが、 V₁ とソースの間にある R_E には電流が流れるため、電位差が発生することです。従って、ゲート・ソース電圧 V は次の式で与えられます。

$V = frac {1}{ 1 + g_m R_E }V_1$

この電圧でドレイン・ソース間を流れる電流が決定するので、あとは同様に V₂, A_v を求めると次のようになります。

$V_2 = frac {R_D R_L}{R_D + R_L} g_m V$
$~ = frac {R_D R_L}{R_D + R_L} g_m frac {1}{1 + g_m R_E} V_1$
$A_v = frac {R_D R_L}{R_D + R_L} g_m frac {1}{1 + g_m R_E}$

このことから次のことが言えます。

R_E により増幅率が 1/(1+g_mR_E) になります。 R_E ≪ 1/g_m の時は増幅率はほぼ 1 ですが、 R_E ≫ 1/g_m の時の増幅率はほぼ 1/g_mR_E となり、 R_E に反比例します。
g_m がばらついても利得が抑えられます。 g_m≪1/R_E の時は分母がほぼ 1 になるので電圧利得は帰還抵抗がない時と同様に g_m に比例しますが、 g_m≫1/R_E の時(つまり g_mR_E ≫1の時) は次のようになります。
$A_v = frac {R_D R_L}{R_D + R_L} g_m frac {1}{1 + g_m R_E}$
$~ simeq frac {R_D R_L}{R_D + R_L} frac {g_m}{ g_m R_E}$
$~ = frac {R_D R_L}{R_D + R_L} frac {1}{R_E}$

つまり相互コンダクタンスが大きくても、電圧利得は R_E で定まる一定の値に落ち着いてしまうということです。