第 3 回ノンパラメトリック検定、第3回課題

本日の内容

3-1. 確率(2)
3-2. ノンパラメトリック検定

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3-1. 確率(2)

ポアソン分布

$t$ 時間内に $k$ 回独立に事象が起きる確率を $p_{t, k}$ とし、微小時間 $Δ t$ に $Δ t λ$ の確率で事象が起きるとする。このとき、次の式が成り立つとする。

{\begin{matrix} p_{t + Δ t, 0} = p_{t, 0} (1 - Δ t λ) \\ p_{t + Δ t, k + 1} = p_{t, k + 1} (1 - Δ t λ) + p_{t, k} λ Δ t \end{matrix}

このとき、次が成り立つことを示す

p_{t, k} = \frac{{(λ t)}^{k}}{k!} e^{- λ t}

$lim_{Δ t \to 0} \frac{p_{t + Δ t, 0} - p_{t, 0}}{Δ t} = - λ p_{t, 0}$
$\frac{ⅆ p_{t, 0}}{p_{t, 0}} = - λ ⅆ t$
$p_{0, 0} = 1$ より、
$p_{t, 0} = e^{- λ t}$
これは $k = 0$ のときの式を満たす。
$lim_{Δ t \to 0} \frac{p_{t + Δ t, k + 1} - p_{t, k + 1}}{Δ t} = - λ p_{t, k + 1} + λ p_{t, k}$
$\frac{ⅆ p_{t, k + 1}}{ⅆ t} + λ p_{t, k + 1} = λ \frac{{(λ t)}^{k}}{k!} e^{- λ t}$
$\frac{ⅆ}{ⅆ t} (e^{λ t} p_{t, k + 1}) = \frac{λ^{k + 1}}{k!} t^{k}$
$p_{t, k + 1} = \frac{λ^{k + 1}}{(k + 1)!} t^{k + 1} e^{- λ t}$

ここで、 $t = 1$ を代入したもの $P (X = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ}$ をポアソン分布と呼ぶ。

指数関数のマクローリン展開 $e^{x} = e^{0} + \frac{1}{1!} x^{1} + \frac{1}{2!} x^{2} + ... = \sum_{k = 0}^{∞} \frac{1}{k!} x^{k}$ を使うと

\sum_{k = 0}^{∞} P (X = k) = \sum_{k = 0}^{∞} \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} = e^{- λ} e^{λ} = 1

Ex (X) = \sum_{k = 0}^{∞} k \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} = λ \sum_{k = 0}^{∞} \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} = λ

Var (X) = \sum_{k = 0}^{∞} {(k - λ)}^{2} \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} = \sum_{k = 0}^{∞} (k (k - 1) + k - 2 λ k + λ^{2}) \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} = λ^{2} + λ - 2 λ^{2} + λ^{2} =

なお、中心極限定理より、平均 $λ$ のポアソン分布 $Po (λ)$ は $N (λ, λ)$ に近似できる

$χ^{2}$ 分布

$X_{i}$ を互いに独立な $N (0, 1)$ に従う確率変数とする。

このとき、 $χ_{k}^{2} = \sum_{i = 1}^{k} X_{i}^{2}$ の確率分布を求める。確率母関数を考えると

M_{χ_{k}^{2}} (t) = Ex (e^{t χ_{k}^{2}})

= Ex (e^{t (X_{1}^{2} + ... + X_{k}^{2})})

= {(Ex (e^{t X_{i}^{2}}))}^{k}

= {(\int_{-∞}^{∞} e^{t x^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{2}} ⅆ x)}^{k}

= {(\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{-∞}^{∞} e^{- \frac{1 - 2 t}{2} x^{2}} ⅆ x)}^{k}

= {(\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{-∞}^{∞} e^{- s^{2}} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 - 2 t}} ⅆ s)}^{k}

= \frac{1}{{(1 - 2 t)}^{\frac{k}{2}}}

特性関数を

φ_{χ_{k}^{2}} (t) = \frac{1}{{(1 - 2 i t)}^{\frac{k}{2}}}

確率密度関数は

f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{-∞}^{∞} e^{i t x} φ_{χ_{k}^{2}} (t) ⅆ t

= \frac{1}{2^{k / 2} Γ (k / 2)} x^{k / 2 - 1} e^{- x / 2}

累積分布関数は

F (x) = \frac{γ (k / 2, x / 2)}{Γ (k / 2)}

定理

$X_{i}$ を互いに独立な $N (μ, σ^{2})$ に従う確率変数とする。 $\overline{X}$ を標本平均とする。ここで、 $Y = \frac{1}{σ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \overline{X})}^{2}$ は自由度 $n - 1$ のχ²分布に従う。

(証明)

Y = \frac{1}{σ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \overline{X})}^{2} = \frac{1}{σ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - μ + μ - \overline{X})}^{2} =

3-2. ノンパラメトリック検定

統計的仮説検定とは

統計的仮説検定とは、ある母集団に対する仮説を立てて、その仮説の有効性を、標本値を元に確率で判断する。仮説としては、帰無仮説と呼ばれる、可能性の低そうな仮説を立て、標本値からその仮説の成立する確率を計算し、十分低い確率である場合、その帰無仮説を棄却するというものである。このとき、棄却するための確率を有意水準と呼ぶ。通常は、5%や 1% などの値を選ぶ。

$χ^{2}$ 検定

事象が $k$ 種類に分類されるとして、それぞれが $O_{1}$ ,..., $O_{k}$ だったとする。全事象の数が $N$ 個だったとすると、 $O_{k} = N - O_{1} - ... - O_{k - 1}$ となる。各 $i$ 番目の観測値に対する期待値を $E_{i}$ で表すとき、 $O_{i}$ が $Po (E_{i})$ に従うと仮定して、分布のズレを考える。ズレを正規化するため、 $Po (E_{i})$ を正規化するため、ズレの分布を正規分布 $N (0, 1)$ に近似し、その2乗和を考える。つまり、 $χ^{2} = \sum_{i = 1}^{k} \frac{{(O_{i} - E_{i})}^{2}}{E_{i}}$ を考える。このとき、帰無仮説を「ズレは正常の範囲内」とするとき、 χ²分布の確率密度関数 $F (x \leq X)$ について、有意水準を αとすると、 $F (x \leq χ^{2}) > 1 - α$ であれば、帰無仮説は棄却される。

課題1

ある学校で、生徒たちが好きなスポーツに関する調査を行いました。スポーツは1つだけ選ばせています（野球、サッカー、バスケットボール）。また、生徒たちの性別（男性・女性）も記録しています。以下は、200人の生徒のデータです。このデータを基に、性別とスポーツの好みに有意な関連があるかを有意水準5％で検定しなさい。

	野球が好き	サッカーが好き	バスケットボールが好き	合計
男性	50	40	30	120
女性	20	30	30	80
合計	70	70	60	200

課題2

あるサイコロが公平かどうかを調べるために、600回のサイコロ投げを行った。その結果は次の通りであった。サイコロが公平であるかどうかを有意水準5%で検定しなさい。

出目	1	2	3	4	5	6	合計
回数	90	110	95	100	105	100	600

坂本直志 <[email protected]>
東京電機大学工学部情報通信工学科

第 3 回 ノンパラメトリック検定、第3回課題